Việt Nam TST 2018 - Đề thi và lời giải

[phuongcvp]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Ngày thi thứ hai (31/03/2018).

Bài 4. Cho $a$ là số thực thuộc đoạn $\left[ \frac{1}{2};\frac{2}{3} \right].$Các dãy số $({{u}_{n}})$ và $({{v}_{n}})$ xác định như sau:
$${{u}_{n}}=\frac{3}{{{2}^{n+1}}}\cdot {{(-1)}^{[{{2}^{n+1}}a]}} \text{ và } {{v}_{n}}=\frac{3}{{{2}^{n+1}}}\cdot {{(-1)}^{n+[{{2}^{n+1}}a]}}.$$

a) Chứng minh rằng
$${{({{u}_{0}}+{{u}_{1}}+\cdots +{{u}_{2018}})}^{2}}+{{({{v}_{0}}+{{v}_{1}}+\cdots +{{v}_{2018}})}^{2}}\le 72{{a}^{2}}-48a+10+\frac{2}{{{4}^{2019}}}.$$
b) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để đẳng thức xảy ra.

Bài này khá dài nên em xin phép chỉ trình bày vắn tắt nhất
Nhận xét 1:$v_i=u_i$ với $i$ chẵn và $v_i=-u_i$ với $i$ lẻ
Do đó bất đẳng thức viết được dưới dạng: $(u_0+u_1+\cdots u_{2018})^2+(u_0-u_1+u_2-u_3+\cdots + u_{2018})^2 \leq 72{{a}^{2}}-48a+10+\frac{2}{{{4}^{2019}}}$
Khai triển sẽ thấy vế trái có dạng $2(A^2+B^2)$ với $A=x_0+x_2+\cdots+x_{2018}$ và $B=x_1+x_3+\cdots+x_{2017}$
Nhận xét 2: Viết $a=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{x_i}{2^i}$ là biểu diễn dưới dạng nhị phân của $a$
Khi đó $a \geq b=\sum_{i=1}^{2019}\frac{x_i}{2^i}$. Đánh giá: $72{{a}^{2}}-48a+10+\frac{2}{{{4}^{2019}}} \geq 72{{b}^{2}}-48b+10+\frac{2}{{{4}^{2019}}}$
Kết hợp trên thì ta chỉ cần chứng minh $A^2+B^2 \leq 36b^2-24b+5+\dfrac{1}{4^{2019}}$
Nhận xét 3: Biểu diễn $b$ theo các $u_i$
Ta thấy: ${{(-1)}^{[{{2}^{n+1}}a]}}=\dfrac{2^{n+1}u_{n}}{3}$. Suy ra $x_{n+1}=0 \Leftrightarrow \dfrac{2^{n+1}u_{n}}{3}=1$ và $x_{n+1}=1 \Leftrightarrow \dfrac{2^{n+1}u_{n}}{3}=-1$
Do đó có thể biểu diễn $x_{n+1}$ là hàm bậc nhất theo $\dfrac{2^{n+1}u_{n}}{3}$ như sau: $x_{n+1}=\dfrac{-1}{2}.\dfrac{2^{n+1}u_{n}}{3}+\dfrac{1}{2}$
Ta có: $$b=\sum_{i=1}^{2019}\frac{x_i}{2^i}=\sum_{i=0}^{2 018}\frac{x_{i+1}}{2^{i+1}}=\sum_{i=0}^{2018} \left(\frac{-u_i}{6}+\dfrac{1}{2^{i+2}}\right)=C-\dfrac{A+B}{6}$$
Với $A,B$ đã định nghĩa ở trên và $C=\sum_{i=0}^{2018}\frac{1}{2^{i+2}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^{2020}}$
Do đó ta sẽ chỉ cần chứng minh điều sau:
$$A^2+B^2 \leq 36 \left(C-\dfrac{A+B}{6}\right)^2-24\left(C-\dfrac{A+B}{6}\right)+5+\dfrac{1}{4^{2019}}$$
Khai triển và biến đổi tương đương ta đưa được nó về dạng
$$3\left(1-2C\right)\left(6C-1\right)+\dfrac{1}{4^{2019}} \geq 2\left(B-6C+2\right)\left(6C-2-A\right) $$
Và ta được vế trái của bất đẳng thức trên là hằng số $\dfrac{3}{2^{2018}}-\dfrac{1}{2^{4035}}>0$
Nhận xét 4: Đánh giá. Do $\dfrac{1}{2}\leq a \leq \dfrac{2}{3}$ nên dễ dàng có được: $x_1=1,x_2=0$ từ đó $u_0=\dfrac{-3}{2};u_{1}=\dfrac{3}{4}$
Khi đó đánh giá được: $-(2-\dfrac{1}{2^{2019}})\leq-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2^3}-\cdots-\dfrac{3}{2^{2019}}\leq A \leq -\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2^3}-\cdots+\dfrac{3}{2^{2019}}<0$
Mặt khác $6C-2=1-\dfrac{3}{2^{2019}}$ nên $0<6C-2-A \leq 1-\dfrac{3}{2^{2019}}+2-\dfrac{1}{2^{2019}}=3-\dfrac{1}{2^{2017}}$
Tương tự ta có: $B -6C+2=B-1+\dfrac{3}{2^{2019}}\leq \dfrac{3}{2^2}+\dfrac{3}{2^4}+\cdots+\dfrac{3}{2^{ 2018}}-1+\dfrac{3}{2^{2019}}=1-\dfrac{1}{2^{2018}}-1+\dfrac{3}{2^{2019}}=\dfrac{1}{2^{2019}}$
Do đó ta sẽ có: $2\left(B-6C+2\right)\left(6C-2-A\right) \leq 2.\dfrac{1}{2^{2019}}.\left(3-\dfrac{1}{2^{2017}}\right)=\dfrac{3}{2^{2018}}-\dfrac{1}{2^{4035}}$
Do đó ta có điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots+\dfrac{1}{ 2^{2019}}=\dfrac{2-\dfrac{1}{2^{2019}}}{3}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]