Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang  Sáng nay, tại trường THPT Chuyên Amsterdam HN, kỳ thi chọn đội VN 2019 đã diễn ra với gần 49 thí sinh, gồm 1 bạn đạt HCB IMO 2018 và 48 bạn giải nhất-nhì của kỳ thi VMO. Dưới đây là đề thi ngày 1. ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN
DỰ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ 2019 Thời gian làm bài: 270 phút. Ngày thi thứ nhất. Bài 2. Với $n$ là số nguyên dương, chứng minh rằng đa thức sau đây $${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{2}^{k}}C_{2 n}^{2k}\cdot {{x}^{k}}\cdot {{(x-1)}^{n-k}}}$$ có $n$ nghiệm thực phân biệt. |
Nếu $x \neq 1$
Đặt $t=\dfrac{2x}{1-x}$ thì $x=\dfrac{t}{t+2}$ và thay vào thì
$${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{2}^{k}}C_{2 n}^{2k}\cdot {{x}^{k}}\cdot {{(x-1)}^{n-k}}}=\dfrac{2^n}{(t+2)^n}\sum\limits_{k=0}^{n}C_{2 n}^{2k}(-t)^k=\dfrac{2^n}{(t+2)^n}\sum\limits_{k=0}^{n}C_{2 n}^{2k}(i\sqrt{t})^{2k}$$
Từ đó $${{P}_{n}}(x)=\dfrac{2^{n-1}}{(t+2)^n}\left[\left(i\sqrt{t}+1\right)^{2n}+\left(i\sqrt{t}-1\right)^{2n}\right]=\dfrac{2^{n-1}(t+1)^n}{(t+2)^n}\left[\left(i\dfrac{\sqrt{t}}{\sqrt{t+1}}+\frac{1}{\sqrt {t+1}}\right)^{2n}+\left(i\dfrac{\sqrt{t}}{\sqrt{t +1}}-\frac{1}{\sqrt{t+1}}\right)^{2n}\right]$$
Ta chỉ ra $n$ nghiệm của đa thức đều nằm trong $[0,1]$ hay $t>0$
Tồn tại $\phi$ để $cos \phi =\dfrac{1}{\sqrt{t+1}}$
Áp dụng công thức De Morve thì $${{P}_{n}}(x)=\dfrac{2^{n-1}(t+1)^n}{(t+2)^n}\left(\cos(2n\phi)+i\sin(2n\phi )+\cos(2n(\pi-\phi))+i\sin(2n(\pi-\phi))\right)=\dfrac{2^{n}(t+1)^n}{(t+2)^n}\cos(2n \phi)$$
Giờ chọn $2n\phi=\dfrac{(2k+1)\pi}{2}\Leftrightarrow \phi =\dfrac{(2k+1)\pi}{4n}$ với $k$ từ $0$ đến $n-1$ ta được $n$ số $\phi$
Thay vào ra $n$ số $t$ dương và từ đó ra được $n$ nghiệm của phương trình
Một bài toán có dạng giống nhưng cách làm khác:
Putnam 2014 B4 Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương thì đa thức ${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}2^{k(n-k)}x^k$ có $n$ nghiệm thực phân biệt
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]